Algèbre, Dérivation

Sujet :

On se propose d'utiliser la suite (x(n)) pour obtenir une valeur approchée de s. Afin de le faire avec une
précision epsilon fixée à l'avance, on cherche un majorant de l'erreur commise lorsqu'on approche s par x(n) .
Pour cela on suppose que f satisfait quelques hypothèses supplémentaires.
1) Montrer que si, en plus des hypothèses précédentes, f est de classe C² sur I, alors les fonctions f' et f" admettent un maximum et un minimum sur I, et que Min |f'| > 0 (sur I).

Dans la suite on suppose que f est de classe C² sur I, on pose : m=Min |f'| > 0 (sur I), M=Max|f"| (sur I) et K=M/2m et on suppose que :
0 On pose : pour tout n de IN, d(n)=|x(n)-s|

2) Soit n de IN.
a) Montrer qu'il existe un réel c(n) appartenant à [s, x(n)] tel que :
f(x(n))+(s-x(n))f'(x(n))+(s-x(n))²*f"(c(n))/2

On rappelle la formule de Taylor-Lagrange (je ne l'ai pas réécrite pour ne pas trop surcharger)

b) En déduire une expression de d(n+1) en fonction de dn, f'(x(n))et f"(c(n))

c) Etablir à l'aide du résultat précédent : pour tout n de IN, d(n+1)<=K(d(n))² .
d) Montrer que : pour tout n de IN, d(n)<=[[K(b-a)]^(2^n)]/K

3) Soit epsilon un réel strictement positif fixé.
Comment choisir n pour que x(n) soit une valeur approchée de s à epsilon près ?
(Obtenir, sans calculatrice, une formule donnant un tel entier n)

4) soit I=[1.5;2], on consifère f(x)=ln(x)*1/x² pour tout x de I
a) Montrer que f satisfait toutes les hypothèses (début de l'exercice et début de la partie B) et calculer K.

b) on pose epsilon=10^-6. a l'aide d'une calculatrice, déterminer la valuer de n pour laquelle x(n) est une valeur de s à epsilon près.

c) écrire un programme en SCILAB qui calcul x(n) pour la valeur n de la question précédente (à traduire et mettre en oeuvre sur la calcultraice). En déduire une valeur approchée de s à epsilon près.


Hypoyhèse dans la partie A: I=[a;b] a et b deux réels tq a f(a)<0 et 0 f est de classe C^1 sur I
f' est décroissante sur I
pour tout x de I, f'(x)>0
dans la partie A on montre que:
f(x)=0 admet une solution unique notée s
la courbe représnetative de f est en dessous de ses tangentes et que pour un réel c appartenant à I f(c)+(s-c)f'(c)>=0.
pour un suite (x(n)) (n entier naturel) avec x(0)=a on a a la suite converge vers s

Où j'en suis :

La question 1 retse un grand mystère pour moi.

J'ai répondu aux questions 2a, 2b et 2c. mais je bloque pour la 2d.
2b je trouve d(n+1)=[d(n)²*|f"(c(n))|]/[2f'(x(n))]

Pour la question 3 je ne vois pas comment procéder.

Je pense qu'une fois que j'aurais ce qu'il me manque dans les questions 1, 2 et 3, les questions 4a et 4b ne me poseront pas de problème.

Pour la 4c, n'étant pas très douée pour écrire un prgramme informatique, je suis bloquée. Je ne sais que le traduire pour l'écrire sur ma calcultrice.

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