Dérivation et tangentes

Devoir Mathématiques - Exercice - 1ère Bac S

Sujet :

Dans un repère orthonormal (O,i,j) , on considère la parabole P d'équation y=x^2 .
L'objectif est de trouver l'ensemble E des points M d'où l'on puisse mener deux tangentes à P qui soient perpendiculaires.

1) Soit M0 (x0;y0) un point du plan. On suppose que M0 est un point de l'ensemble E.

a) Soient a et b deu réels.
Ecrire une équation des tangentes Ta et Tb à P respectivement aux points d'abscisse a et b.
b) Traduire analytiquement le fait que M0 appartient aux deux tangentes Ta et Tb.
c) Traduire analytiquement l'orthogonalité de Ta et Tb.
d) En déduire que si M0 est un point de l'ensemble E alors y0= -1/4.

2) Si M est un point de la droite (d) d'équation y= -1/4 ,peut-on mener de M deux tangentes à la parabole P qui soient perpendiculaires?

Où j'en suis :

J'ai fait la 1)a)b)c) et je coince à la d) et pour la 2) aussi . Pour la d) je n'arrive pas à trouver y0= -1/4 ! je suis sur cette exercice depuis des heures , si on pourrai m'aider se serait très sympa !!

Signaler ce devoir abusif

Ce devoir a été fermé par son auteur.

2 personne(s) aide(nt) Laurock : Vrishnak, Serma

Attention, verifiez bien la justesse des réponses que l'on vous donne pour votre devoir.

Vrishnak
Bac +4 Ecole d'ingénieur - 122 points - 11/01/2010 à 14:49

1) a, b deux rééls

l'equation de la tangente au point d'abcisse a et au point d"abcisse b sont

Ta: ya=f'(a)(x-a)+f(a)
Tb: yb=f'(b)(x-b)+f(b)

b) Le point appartenant au deux tangents sera la point d'intersection donc

f'(a)(x-a)+f(a)=f'(b)(x-b)+f(b)
d'où
2.a(x-a)+a²=2.b(x-b)+b²
en reorganisant on obtient
x=(a+b)/2
Les point d'intersection entre Ta et Tb decrive donc la droite x=(a+b)/2

c) Ta et Tb perpendiculaire revient à dire que le produit des coefficients directeur des deux tangent est egale à -1
donc
f'(a)*f'(b)=-1
2.a * 2.b=-1
implique
b=-1/(4.a)

b) si M(x0,y0) apparteitn au deux tangentes perpendicualaire alors
il appartient à la droite
x=(a-1/(4.a))/2 = (4.a²-1)/8.a

ddonc x0=(4.a²-1)/8a

or M0 appartient à la tangenat Ta
donc Y0=f'(a)(x0-a)+f(a)
Y0= 2.a(x0-a)+a²
or x0=(4.a²-1)/8a
donc
y0= 2a*[(4a²-1)/8a] - 2.a²+a²
y0=(4a²-1)/4 -a² = a² - 1/4 -a² = -1/4