Équation différentielle.

Devoir Mathématiques - Exercice - Terminale Bac S

Sujet :

(E): y'+y=e^-x

1) Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels R par u(x)=xe^-x est une solution de l'équation différentielle (E)

2) On considère l’équation différentielle (E'): y'+y=0. résoudre l'équation différentielle (E').

3)Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est une solution de l'équation différentielle (E)si et seulement si la fonction v-u est solution de l'équation différentielle (E).

4)En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).

5) Déterminer l'unique solution g de l'équation différentielle (E) telle que g(0)=2.

Où j'en suis :

J'ai déjà fait la question 1 et 2
1) J'ai remplacer y par xe^-x et je trouve bien e^-x.
2) Je trouve y(x)=Ke^-x

Mais après la 3 je n'y arrive pas et la 4 et 5 découlent de la 3). Merci de votre futur aide.

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1 personne(s) aide(nt) RemyN : saidD

Attention, verifiez bien la justesse des réponses que l'on vous donne pour votre devoir.

saidD
Bac +5 Master universitaire - 948 points - 26/12/2011 à 22:50

Bonsoir;

3) on va montrer la double implication ( si et seulement si ).
==>) ( dans le sens direct )

soit u et v deux solution de (E) donc:
v'+v=e^-x
u'+u=e^-x

on fait la différence ( 1ere ligne - la deuxième ):
v' - u' + v - u = 0
donc (v-u)' + (v-u) = 0
donc v-u est solution de (E')
<== sens inverse :

continues...