Equation differentielle

Sujet :

On considère l'équation différentielle (e)
y' +y =2e^-x
Ou y est une fonction de la variable réelle
x définie et dérivable sur IR et y' sa fonction dérivée.

1) Déterminer les solutions sur IR de l'équation
Différentielle (E o ):
y' +y = 0

2 ) Soit h la fonction définie sur IR par :
h(x) = 2 x e^-x

Démonstration que la fonction h est une solution
particulière de l'équation différentielle (E).

3) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle (E)

4) déterminer la solution f de l'équation différentielle
(E) Dont la courbe représentative, dans un repère orthonormal,
passe par les point de coordonnées A (0;3).

2 eme partie : étude de fonction
La courbe C ci dessous représente dans repère orthonormal
une fonction f définie sur IR par :

f(x) = (ax+b) e^-x






Ou a et b sont deux nombres réels.


La droite delta est la tangente à la courbe C au point A
d'abscisse 0. Cette tangente passe par le point B de coordonnées ( 3;0)

( il y a un graphique dans l'exo)

5 ) Déterminé graphiquement f(0)

6) Déterminer f'(0) Graphiquement et par le calcul.

7) Déterminer les valeurs des nombres réels a et b par le calcul.

Dans la suite du problème, on admet que f est définie sur IR par

f(x) - (2x+3) e^-x

8) Déterminer la limite de f en - l'infini puis en +l'infini.

9) Démontrer que pour tout x de IR :

f ' (x) = (-2x -1) e^-x

10) Résoudre dans IR l'inéquation f' (x) (plus ou moins supérieur) a 0

11) déduire le sens de variation de f sur IR.

12) Pourquoi la fonction f admet t-elle l'axe des abscisses comme
asymptote horizontale au voisinage de + l'infini ?

Où j'en suis :

Bonjour
Je suis en BTS
Ceci est un exercice de vacances sur les equadifs
J'ai bien avant réussi à faire celui sur le cercle et les fonctions de références mais je bloque totalement sur les équations différentielle
Si quelqu'un pouvait m'expliquer la procédure de celui-ci se serait génial car cela fais deux soir que je m'arrache les cheveux.

Merci d'avance

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