Etude de la fonction tangente

Sujet :

1) Expliquer pourquoi f est définie sur R-{pi/2 + kpi,}
2) Montrer que le fonction f est impaire qu'en déduit-on pour la courbe représentative C de f.
3) Montrer que f est périodique, de période pi.
4) Démontrer que f'(x) = 1/cos²x, en déduire les variations de f sur [ -pi/2 et pi/2 ] ( intervalles fermé à l'extérieur) , déterminer les limites de f en pi/2 et en -pi/2
5)Déterminons une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0. Etudier la position relative de C et T.

Où j'en suis :

Mon problème est la rédaction !
Pourriez vous me dire ce que je dois mettre comme phrase avant de " balancer" mon calcul, ou si les étapes sont bonnes ?

1) tan(x) = sin(x)/cos(x) avec cos(x)=/=0
Pour cos(x)= ( pi/2 + kpi)=0
cos(x) = pi/2 kpi

2) F est impair si f(-x)=f(x)
on a , tan(-x) = sin(-x)/cos(-x)
tan(-x) = sin(x)/cos(x) car cos(pi+x) = - cos(x)
et sin(pi+x) = - sin(x) donc le rapport reste tan (x). On a bien tan(-x)=tan(x)

3) Montrons que f est périodique, de période pi. Pour cela faisons f(x+pi)=f(x)
On a : tan(x+pi) = sin(x+pi)/cos(x+pi)
tan(x+pi) = sin(x)/cos(x)
donc tan(x+pi) = tan(x) d'où elle est pi-périodique.

4) F est définie et dérivable sur R-{pi/2 +kpi } COMMENT JUSTIFIER QUE F EST DÉRIVABLE SUR CET INTERVALLE ?
f est de la forme u/v avec (u/v)' = (u'v-uv')/(v²)
f'(x) = tan = sin(x)/cos(x)
= ( cos(x)*cos(x) - sin(x)*sin(x))/ cos²x
= ( cos(x)² - sin(x)²)/ cos²x
avec cos(x)² - sin(x)² = 1
= 1/cos²x
Déduisons les variations de f. cos²x > 0 ---> f'(x) toujours positive dans I. F est croissante .
Déterminons les limites de f pi/2 et en -pi/2
. lim tan(x)= lim (sin(x)/cos(x))
on a , lim cos(x)= 0+ /
x->pi/2 / donc lim tan(x) = + l'infini
, lim sin(x) = 1 / x->pi/2
x->pi/2
on a , lim cos(x)= 0+ /
x->-pi/2 /donc lim tan(x) = - l'infini
, lim sin(x) = -1 / x->-pi/2
x->-pi/2

5) Équation de la tangente au point d’abscisse 0 :
y= f'(x)(x-xa) + f(x)
= f'(0)(x-x0) + f(0)
= 1 * ( x-0) + 0
y= x
ETUDIER LA POSITION RELATIVE DE C ET T . JE NE SAIS PAS COMMENT FAIRE.
Pourriez vous me corriger aussi.

Merci d'avance ,
Pauline

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