Exponentielle de Matrice BCPST 1

Devoir Mathématiques - Exercice - Bac +1

Sujet :

Soient A et B deux matrices nilpotentes de Mn(IK), de périodes respectives p et q, telles que AB = BA.
a) Vérifier que l'on peut écrire :exp(A+B)=SOMME[k=0 à p+q-2]((A+B)^k)/(k!)
b)On suppose que p = q = 4
Montrer que exp(A + B) = exp(A) exp(B)

(Les règles de calcul avec les sommes simples et doubles de matrices sont les mêmes qu'avec les
sommes de scalaires lorsque toutes les matrices en présence commutent; on peut effectuer des
décalages d'indice dans les sommes simples et intervertir l'ordre des sommations dans les sommes
doubles selon les méthodes habituelles)

Où j'en suis :

J'ai fait la première question. Pour la deuxième, je n'arrive pas à faire le lien entre les deux. J'ai essayé la définition de l'exponentielle et la formule du binôme, mais je coince.

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1 personne(s) aide(nt) Elhini : stonedbike

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stonedbike
Bac +5 Master universitaire - 409 points - 21/02/2011 à 19:37

Bonjour,

Ca marche bien en utilisant les deux notions que tu évoques :

D'un côté, tu développes exp(A)exp(B) (c-a-d (Id + A + A²/2 + A3/6)(Id + B + B²/2 + B3/6))
De l'autre, tu dévloppes chacun des termes de exxp(A+B) (c-a-d des machins du type (A+B)n, en te servant de cette formule du binôme, ET en n'oubliant pas que A4=B4=A5=B5=A6=B6=0).

Bon je n'ai écrit An au lieu de A^n, mais je pense que tu as compris.

Ecris ce que tu as fait et on t'aidera à trouver ton erreur !

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