formule du binôme et récurrence

Devoir Mathématiques - Exercice - Terminale Bac S

Sujet :

bonjour à tous voilà je bloque sur cet exo aidez moi svp :

1)a)développer (x+1)^7 et (x+1)^11
b) quel est pour chacun de ces développements le plus grand diviseur commun des coefficients binomiaux (autres que les coefficients extrêmes) ?
2)a) notation "congrus": ==
démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , (x+n)^7 == (x^7)+n (mod.7)
b) en déduire en développant (x+n)^7 que pour tout n, (n^7)-n == 0 (mod.7)
c) établir une propriété analogue avec l'exposant 11

aidez moi je ne sais pas comment faire..

Où j'en suis :

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1 personne(s) aide(nt) Gruik59 : compte supprimé

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Bac +3 Licence universitaire - 0 points - 29/10/2010 à 23:29

Bonsoir Gruik.
1)Tu connais le binome de Newton et ses coefficients:Cn,p=n!/p!(n-p)!.En developpant (x+1)^7=x^7+7x^6+21x^5+35x^4+....+1.
Le PGCD EST 7 donc (x+1)^7=x^7+1+7[x^6+............]
2)On peut demontrer de 2 façons recurrence ou congruences.
Recurrence:
INITIALISATION-si n=1 (x+1)^7=x7+1+7[...]congrue x^7+1[7] car on
simplifie 7[...]congrue0[7].
On suppose la propriete vraie au rang n et on la demontre au rang n+1.

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