Le theoreme de thales

Als le theoreme de thales
I. Théorème de Thalès
1. Rappel (4ème)

Dans un triangle ABC,
si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC],
et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :

Autre configuration connue :


2. Exercice découverte : nouvelle configuration de Thalès
On considère la figure suivante :

Les droites (d) et (d’) sont sécantes en A ;
B et M sont deux points de la droite (d), distincts de A ;
C et N sont deux points de la droite (d’), distincts de A ;
les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
a) Par la symétrie de centre A, construire les points M’ et N’, symétriques respectifs des points M et N.
b) Que peut-on dire des droites (M’N’) et (BC) ? Expliquer.
c) Expliquer pourquoi AM’ = AM, AN’ = AN et MN = M’N’.
d) Expliquer pourquoi .

Solution :
a)


b) On sait que les points M’ et N’ sont les symétriques respectifs des points M et N par rapport au point A. Donc (M’N’) est la symétrique de (MN) par rapport à A.
Or, la symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
On en déduit que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.
De plus, on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
On en conclut que les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles.

c) On sait que M’ est le symétrique de M par rapport à A, donc AM’ = AM.
On sait que N’ est le symétrique de N par rapport à A, donc AN’ = AN.
Les segments [MN] et [M’N’] sont symétriques par rapport à A. Or, la symétrie centrale conserve les longueurs, donc MN = M’N’.

d) Dans le triangle ABC, M’ est un point du côté [AB], N’ est un point du côté [AC] et les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles, alors .
Or, on a montré que AM’ = AM, AN’ = AN et que M’N’ = MN, donc : .

3. Conclusion
Les trois configurations de Thalès :

Théorème de Thalès :
Soient (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de la droite (d’), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : .


4. Exemple

Sur la figure ci-dessus, on donne :
AB = 12 cm, AN = 4cm, AC = 6 cm, MN = 3 cm.
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Calculer AM, puis BC.

Solution :
Les droites (BN) et (CN) sont sécantes en A, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : ,
c’est-à-dire : .
De , on déduit que : AM =
Donc : AM = 8 cm
De , on déduit que : BC =
Donc : BC = 4,5 cm

II. Réciproque du théorème de Thalès

Données :

A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre.
Réciproque du théorème de Thalès :
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de (d’), distincts de A.
Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre,
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exemple :

Sur la figure ci-dessus, les points A, M, B et A, N, C sont alignés.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Solution :
On a : et .
Donc : .
De plus, les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, les points C, A, N sont alignés dans le même ordre que les points B, A, M.