Les Suites

Sujet :

Bonjour,


EXO 1 :


Tous le jours, un coureur à pied s'entraine accompagné de son chien, autour de son pâté de maisons, un carré de 250m de côté.
Il court a une vitesse constante et parcourt un côté du carré en 1 min exactement.
Au départ, son chien se trouve a l'angle comme indiqué. ( Dans carré ABCD ( A se trouvant en haut a gauche) le chien se trouve au point C et le maitre au point D ). Voyant son maitre partir, il veut le rattraper ( en tournant dans le même sens). Chaque minute, la distance qui les sépare est divisée par 2.
On veut indiquer sur le schéma, la position du maitre et celle de son chien.
On note M0 et C0 leurs positions respectives au départ ( instant 0), M1 et C1 leurs positions apres 1 minute de course et ainsi de suite.

1. Dessinez un carrez et marquez les position M0, M1, M2, M3, M4, M5, M6. Que remarquez-vous ? Où se trouve le maître apres 9 min ?
2. MArquez les postions C1, C2 C3, C4 du chien.
3. On considère que le chien a rattrapé son maitre lorsqu'il se trouve à moins de 20 cm de celui ci. On note d0 = 250 m la distance qui les sépare au dépare et, par exemple, d5 la distance qui les sépare apres 5 min de courses. Calculez d1, d2, d3, d4 et d5.
4. Combien de temps le chien met-il pour rattraper son maître ? Quelle distance a-t-il alors parcouru ?


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EXO 2 :
I/
Une grecque est une figure géométrique constituée de segments consécutifs perpendiculaire.

On construit une grecques. Les longueurs des segements sont indiqué en cm.
L1 = 1, L2=1, L3=2, L4=3, L5=5, L6=8

a) A partir de L2, il existe un procédé logique simple qui permet de passer au nombre suivant. Indiquez-le et précisez L7.
b) Pourquoi le calcul direct de L100 est il impossible ? La connaissance de L99 permet-elle de calculer L100 ?
c) Quelle relation lie les nombres Ln, Ln+1, Ln+2 ( n etant un entier naturel non nul) ??

II/
On construit a l'aide d'une ficelle d'un mètre de long une grecque.
Chaque segement a pour mesure la moitié de la mesure du précédent.
On note x1 la longueur du premier (x1=50cm), x2 celle du second (x2=25cm) et ainsi de suite.

a) calculez x3,x4,x5,x6,x7.
b)Quel est le premier segment de longueur inférieur a 1 cm ? a 1mm ?
c) On suppose possible de répéter infiniment cette construction.
Pensez vous que la ficelle sera de longueur suffisante ? Cette question est délicate mais l'étude mathématique des suite permet de répondre à une telle question.


MERCI D'AVANCE.

Où j'en suis :

1. M0, M4 se trouve au point D
M1, M5 au point A
M2, M6 au point B
M3 au point C

M9 se trouve au point A ?

2. C1 se trouve au milieu de [AD] ?

3.d1 : 125 m
d2 : 62.5 m
d3 : 31.25 m
d4 : 15.625 m
d5 : 7.8125 m

4. ?
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EXO 2 :

a) L1+L2 = L3
L2+L3 = L4
L3+L4=L5 et ainsi de suite
Donc L5+L6=L7 = 13
b) ?
c) ?

2/a)
x3= 12,5 cm
x4= 6.25 cm
x5= 3.125 cm
x6= 1.5625 cm
x7= 0.78125 cm
b) x7 est inferiieur a 1 cm.
c) ?

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