limites et continuité

Devoir Mathématiques - Exercice - Bac +1

Sujet :

1.Soit f : la fonction définié par f(x)=(cosx)/(1+x²). Montrer que f est croissante sur (-Pi/2 ; 0 ) et décroissante sur (0 ; pi/2). Montrer que f est bornée sur R.
2. Soit f la fonction définie par f(x)=xcosx. f est-elle margorée ? minorée ?

Où j'en suis :

1. j'ai calculé la dérivé et j'ai trouvé f'(x)= (-sinx-sinx^3-2cosx²)/((1+x²)²)
Et après je suis coincée. Je ne sais pas si c'était necessaire de calculer la dérivé.

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1 personne(s) aide(nt) pep71 : a000

Attention, verifiez bien la justesse des réponses que l'on vous donne pour votre devoir.

a000
Bac +4 Autre - 215 points - 13/10/2010 à 14:22

salut
f'(x)=-[sinx(1+x^2)+2xcosx]/(1+x^2)^2
signe de f'(x)=signe de {-[sinx(1+x^2)+2xcosx]} (le numérateur)
donc pour déterminer le signe de f'(x) on procède comme suit;

* sur [-pi/2;0]
sinx(1+x^2) est< ou =0 (car sinx est <ou=0)
aussi 2xcosx est< ou =0 (car cosx est >0 et x est <ou=0)
donc leurs somme est < ou = 0 <==> f'(x)est> ou =0 (du au signe (-) dans le numérateur)
==> sur [-pi/2;0] f est croissante
**sur [0;pi/2]
sinx(1+x^2) est> ou =0 (car sinx est >ou=0)
aussi 2xcosx est> ou =0 (car cosx est >0 et x est >ou=0)
donc leurs somme est > ou = 0 <==> f'(x)est< ou =0 (du au signe (-) dans le numérateur)
==> sur [0;pi/2] f est décroissante

f est bornée en fait;on a -1<=cosx<=1
on multiplie par 1/(x^2+1) ça donne;
-1/(x^2+1)<=f(x)<=1/(x^2+1) (car 1/(x^2+1)>0)
or
0<=x^2<l'inf <==> 1<=x^2+1<l'inf <==>0<1/(x^2+1)<=1 et si on multiplie par (-1) cette dernière ça donne;-1<-1/(x^2+1)<=0
en revenant vers -1/(x^2+1)<=f(x)<=1/(x^2+1) ça devient;
(-1)<=-1/(x^2+1)<=f(x)<=1/(x^2+1)<=1
finalement; (-1)<=f(x)<=1 elle est bornée.