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Devoir Mathématiques - Exercice - Terminale Bac S

Sujet :

Soit C un demi-cercle de centre O, de rayon 1 et d'extrémités I et K.
Pour tout point M du demi-cercle C, on note H le projeté orthogonal de M sur (IK) et A l'aire du triangle IHM.
Le but de l'exercice est d'étudier l'aire A suivant les positions du points M.

A. Avec les coordonnées:
On considère le repère orthonormal O;i;j, où J est le point d'intersection de la médiatrice de [IK] avec le demi-cercle C.
On note x l'abscisse du point M et on pose A=f(x)

1. Déterminer l'expression de f(x) en fonction de x.
2.Soit g la fonction définie sur l'intervalle [-1;1] par :
g(x) = (1-x)^3(1+x)
a) Dresser le tableau des variations de la fonction g.
b) En déduire le tableau des variations de la fonction f.
3. a) Pour quelle position du point M, l'aire A est-elle maximale ?
Quelle est la valeur de ce maximum ?

b) Démontrer qu'il existe une position Mo de M, différente de J, telle que l'aire A soit égale à celle du triangle OIJ.
On donnera un encadrement d'amplitude 10^-2 de l'abscisse x0 de M0.

Où j'en suis :

1) Déterminons l'expression de f(x) en fonction de x.
On pose A f(x)
Soit par définition de l'aire d'un triangle:
A=(MH*MI)/2 avec MH= racine(x²-1)
calcul de MH avec le théorème de Pythagore, dans le triangle OHM.
Et par lecture de la figure : HI=OI-OH ; HI+1-X
DONC
f(x) = ( racine(x²-1)*(1-x))/2

2) g(x)= (1-x)^3(1+x)
g'(x)= (1-x)²[3(1+x)+(1-x)] = (1-x)²(2x+4)
Calculons les racines :
On a (1-x)²=0 ou 2x+4=0
x=-1 x=-2

a) signe de g'(x) sur ]- l'infini ; -1 ] : négatif <0
sur l'intervalle -1;-2 >0
et sur -2; + l'infini <0

après je suis pas sure de ces signes donc impossible d'établir les variations de g :(
Après je suis totalement bloquée.
Si vous avez l'amabilité de m'aider , je vous serais entièrement reconnaissante.
Aidez moi aussi pour la rédaction de mes réponses, elles sont pas au point.

En attendant votre aide, je vous remercie d'avance,

Pauline.