Racine de 2

Devoir Mathématiques - Exercice - 3ème

Sujet :

on veut montrer dans cet exercice que racine de 2 n'est pas un nombre rationnel.
si racine de 2 est rationnel alors on peut trouver deux nombres entiers relatifs p et q premiers entre eux tels que q différent de 0 et racine de 2 = p/q

1 . Montrer que si n est un entier dont le carré est pair, alors n est aussi impair

2. Montrer que si racine de 2 = p/q alors p est pair. En déduire que p² est divisible par 4

3. en déduire que q² est pair également

4. aboutir a une contradiction et conclure

Où j'en suis :

En fait celui que j'ai besoin d'aide c'est surtout la derniere question.
Le devoir est pour lundi.
Merci d'avance !!

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1 personne(s) aide(nt) aiming : jeannot

Attention, verifiez bien la justesse des réponses que l'on vous donne pour votre devoir.

jeannot
Bac Bac Pro - 977 points - 18/09/2011 à 09:44

tu peux écrire racine de 2 = V2, ici tout le monde comprendra

il faut raisonner par l'absurde et partir sur la supposition inverse: que V2 EST rationnel puis prouver que c'est impossible.
Supposons donc que V2 est rationnel
Ceci suppose qu'il existe a et b relatifs tel que V2=a/b et a/b est irréductible
V2=a/b ça donne 2 = a²/b²

ce qui donne a² = 2 b²;
ce qui donne a² est pair alors a est pair
donc il existe c tel que c = 2c
mais on a aussi b=a/V2
Metons au carré des 2 cotés:
b²=a²/2
b²=(2c²)/2
b²=4c²/2
b²=2 c²!?!?!
b² lui aussi est pair
donc b est pair
alors a/b est réductible par 2
Ce qui est contraire à notre hypothèse puisqu'on a dit que a et b étaient premiers au départ