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Devoir Mathématiques - Exercice - 1ère Bac S

Sujet :

On considère la suite u définie par U0=1/8
Un+1=Un(2-Un)
1. a. Calculer u1 et u2 .
b. Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative P de la fonction f définie par
f(x) = x(2 – x) ainsi que la droite d (y = x).
c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points A1, A2, A3 d’abscisses
respectives u1, u2, u3 .
d. Que peut on conjecturer au sujet du sens de variation de la suite u ?
2. Etudier les variations de f sur [0 ; 1] et prouver que si x ∈ [0 ; 1] alors f(x) aussi .
3. a. Prouver que si 0 ≤ un ≤ 1 alors 0 ≤ un+1 ≤ 1.
b. A t’on u3 ∈ [0 ; 1] ?
c. Que peut on en déduire de proche en proche ?
4. Déterminer le sens de variation de la suite u .

Où j'en suis :

La première partie ça va
1a u1=15/64
u2=1695/4096

b et c OK

d graphiquement, les points A1 A2et A3 se suivent dans l'ordre chronologique, donc u1 soit un la suite est croissante sur n ∈ [0 ; 1]

2. f polynome, jarrive a démontrer que f croissante sur l'intervalle [0;1]
d'ou f(0) or f(0)=0 et f(1)=1 (sommet)
donc pour x ∈ [0 ; 1] 0<=f(x)<=1

3a Je bloque un peu
j'ai essayé 0≤un(2-un)≤1
mais je trouve 1≤un≤2 :/
a partir de la je bloque

Merci d'avance

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La correction apportée par Chuppa.M

1a u1=u0(2-u0)=1/8(2-1/8)=15/64
de meme, u2=1695/4096
d. il semble que la suite u est croissante

2.f(x)=x(2-x)=-x²+2x polynome du second degre
le sommet est atteint en -b/2a=1 et a=-1<0 => f croissante sur [o;1]
d'ou, si 0<=x<=1 => f(0)<=f(x)<=f(1) donc 0<=f(x)<=1 ainsi f(x)appartient à [0;1]

3a on a 0<=un<=1, dapres quest precedente, o<=f(un)<=1 donc 0<=un+1<=1

b u2 appartient a [0;1], donc u3app[0;1] dapres quest précédente

c de proche en proche, pour tout entier naturel n, on a 0<=un<=1

4 un+1-un=un(2-un)-un=un(2-un-1)=un(1-un)
0<=un<=1 => 1-un=>0 et un=>0 => un(1-un)=>0 => un+1-un=>0
=> u croissante

1 personne(s) aide(nt) Chuppa.M : Carita

Attention, verifiez bien la justesse des réponses que l'on vous donne pour votre devoir.

Carita - Modérateur
Bac +2 BTS - 4073 points - 03/02/2012 à 09:13

bonjour

2. Etudier les variations de f sur [0 ; 1]
f(x) = x(2 – x) = -x²+2x fonction trinôme
extremum en -b/2² = -2/-2 = 1 ---> f(1) = 1
a<0 : fonction croissante sur [0 ; 1]

3. a. Prouver que si 0 <= un <= 1 alors 0 <= un+1 <= 1
0 <= un <= 1
2-0 <= 2-un <= 2-1 <==> 2 <= 2-un <= 1
donc
0*2 <= un(2-un) <= 1*1
<==> 0<= un(2-un) <= 1
<==> 0<= u(n+1) <= 1