Suite Géométrique "Revenu dans le cas d'un effet de retard"

Sujet :

Bien souvent, la consommation d'un pays est fonction du revenu de l'année précédente.

Si on note Cn la consommation et Yn le revenu de l'année n , on suppose que :
Cn = 0,9 x Y(n-1) + 200 pour n > ou égal à 1
0,9 est la propension marginale à consommer (90% du revenu) et 200 est la consommation incompressible.
En macroéconomie fermée, dans la théorie keynésienne, le revenu l'année n est liée a la consommation par :
Yn = Cn + I , où I est l'investissement, indépendant de l'année considérée.
Dans ce probleme, on suppose que I = 100 et Y0 = 4500

1° Montrer que Yn = 0,9Y(n-1) + 300
2° On considère la suite Zn définie par :
Zn = Yn - 3000.
a) Montrer que la suite (Zn) est géométrique, de terme initial Z0 = 1500.
b) En déduire l'expession de Zn en fonction de n ; puis de Yn en fonction de n.

Où j'en suis :

Jai déjà fait :
1° Je sais que : Yn = Cn + I où I = 100 et Cn = 0,9 x Y(n-1) + 200 pour n > ou égal à 1
D'où : Yn = 0,9Y(n-1) + 200 + 100
Yn = 0,9Y(n-1) + 300 ( pour n > ou égal à 1 )

2°a: Je sais que : Zn = Yn - 3000 et Y0 = 4500
D'où : Z0 = 4500 - 3000
Z0 = 1500

Après pour démontrer que c'est une suite géométrique je pensais à :
0,9Y(n-1) + 300 / Yn

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