Evolution de l'aire d'un triangle dans une configuration géométrique donnée.

Sujet du devoir

Objectif: démontrer que l'aire du triangle IMN devient maximale lorsque la longueur AM est égale à 6 et de préciser la valeur de ce maximum.
Contexte géométrique:
On considère un carré ABCD de côté 8 cm.
On note I le milieu du segment [BC].
On place un point M quelconque sur le segment [AB]. On pose AM=x.
On construit ensuite le point N du segment [AD] tel que AN=AM=x.
On note f(x) l'aire (en cm carré ) du triangle IMN.

Questions:
1) Quelles sont les valeurs possible de x ? Justifier la réponse et écrire sous la forme d'un intervalle la domaine de définition de la fonction f.
3)a) Que vaut l'aire du carré ABCD ?
b) Exprimer en fonction de x les aires des triangles AMN et IMB, puis simplifier ces expressions au maximum en fonction de x.
c) Même question pour l'aire du trapèze CDNI que l'on simplifiera au maximum en fonction de x.
d) Expliquer alors pourquoi l'aire du triangle IMN en fonction de x est donnée, pour tout x appartient à [0;8], par la formule suivante: f(x)= 64-x au carré sur 2 - (16-2x)-(48-4x).
4) Démontrer alors que, pour tout x appartient à [0;8], on a f(x)= -x au carré sur 2 + 6x.
5) Calculer la valeur exacte de f(6), puis démontrer que pour tout x appartient à [0;8]: f(x)-f(6)=-1 sur 2(x-6) au carré.
6)a) Quel est le signe de la quantité (x-6) au carré, quelque soit la valeur de x ? Expliquer.
b) En déduire à l'aide des questions 5 et 6a que, pour tout x appartient à [0;8], on a: f(x)-f(6) inferieur ou égal à 0. Expliquer.
c) Répondre au problème posé dans la partie objectif.

Où j'en suis dans mon devoir

3) L'aire du carré ABCD est de 64 cm carré.
b) L'aire du triangle AMN est de x au carré sur 2 cm carré.
L'aire du triangle IMB est de 16-4x sur 2.
c) L'aire du trapèze est de 48-4x cm carré.

Je n'arrive pas à faire le reste du devoir.