PROBLEME SUR LES COMPLEXES

Sujet du devoir

On considère le cercle C de centre O et de rayon 1. A partir d'un point A0 de C, on construit A1 tel que le triangle OAoA1 soit direct, isocèle et rectangle en A1. En procédant de même, on construit sccessivement es points A2, A3, A4,...

On définit ainsi une suite de point (An) où n appartient à N ; pour chaque n, l'affixe du point An est notée Zn.

Parte A.Etude de A1
1. Montrer que l'affixe de A1 est Z1= ((1+i)/2) * Zo

2. On rappelle que le point Ao appartient au cerce C et on désigne par 8(teta) une mesure de
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l'angle (u,OAo).
En dédure l'écriture sous forme exponentielle de Zo.
3. Déterminer l'écriture sous forme exponentielle de (1+i)/2. En déduire celle de Z1.

Partie B :
Plus généralement, on peut montre de même que, pour tout n dans N:

Z(n+1)= ((1+i)/2)*Zn.

1.a. En déduire module de Zn+1 en fonction demodule de Zn.

b.Préciser la nature de la suite (module de Zn) et en déduire que, pour n appartient à N: module de Zn= (1/ V2) exposant n .
c. A partir de quel entier no , tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0.001?
2. On s'intéresse désormais à la longueur Ln de la ligne brisée A0A1...An.
a. Justifier que, pour n apprtenant à N, An*An+1 = (1/V2)exposant n+1
b. Calculer, en fontion de n , la longueur
n-1
Ln= A0A1+ A12+....+An-1*An= E Ak*Ak+1
k=0

c.En déduire la limite de Ln qaudn n tend vers l'infini et interpréter géométriquement le résultat.

Où j'en suis dans mon devoir

Je suis bloquer, aidez moi à faire ce DM important pour mon travail personnel, s'il vous plait !
Merci de prendre sur votre temps.